3.3.3 Les primitives solides infinies

Il y a cinq formes de primitives polynomiales qui sont potentiellement infinies, et ne conviennent pas à l'encapsulage automatique. Ce sont le plan, les cubiques, poly, quadriques et quartiques. Elles ont un intérieur bien défini et peuvent être utilisées dans des CSG, et dans une déclaration clipped_by. Comme les autres formes, elles peuvent être déplacées, tournées et retaillées.

3.3.3.1 Le plan

La primitive plane est une méthode simple pour définir une surface plate infinie. Le plan n'est pas une pellicule fine, ou ne peut pas être comparé à une feuille de papier. Un plan est un objet solide de taille infinie qui divise l'espace en deux parts, en-dedans et en-dehors du plan. Le plan est spécifié comme ceci :

PLANE:
	plane {
		<Normal>, Distance
		[OBJECT_MODIFIERS...]
	}

Le vecteur <Normal> définit la normale de surface du plan. Une normale de surface est un vecteur qui pointe vers le haut depuis la surface, perpendiculairement au plan. Il est suivi par une valeur numérique qui donne la distance du plan avec l'origine, dans l'axe de la normale (cela n'est vrai que si le vecteur de la normale a une longueur unitaire; voir plus loin). Par exemple :

plane {<0, 1, 0>, 4}

Ceci est un plan dont le dessus va dans la direction de l'axe des y. Il est à 4 unités de l'origine, dans cette direction. Parce que la plupart des plans sont définis avec des normales de surface dans la direction d'un axe, vous les verrez souvent définis avec l'utilisation des identificateurs de vecteur intégrés x, y ou z. L'exemple précédent peut être spécifié de cette manière :

plane {y, 4}

Le plan s'étend indéfiniment dans les directions x et z. Il divise le monde en deux parts. Par définition, les vecteurs de la normale pointent vers l'extérieur du plan. Cette distinction dedans/dehors n'est importante qu'avec l'utilisation des plans dans les CSG et clipped_by. C'est également important avec l'utilisation du brouillard ou du média atmosphérique. Si vous placez une caméra dans la moitié "interne" du monde, alors le brouillard ou le média n'apparaîtront pas. Cela arrive aussi avec les objets solides, mais c'est plus commun avec les plans. Les utilisateurs savent quand ils ont placé une caméra dans une sphère ou une boîte, mais "l'intérieur d'un plan" est un concept inhabituel. Vous pouvez inverser les propriétés dedans/dehors en ajoutant le modificateur d'objet inverse. Voir "Inverse" et "Les objets vides et pleins" pour les détails.

Un plan est appelé une forme polynomiale car il est défini par une équation polynomiale de premier ordre. Soit le plan :

plane {<A, B, C>, D}

il peut être représenté par l'équation A*x + B*y + C*z - D*sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = 0.

Ainsi, notre exemple de plane {y, 4} est, actuellement, l'équation polynomiale y=4. Vous pouvez vous le représenter comme la série de tous les points x, y, z où la valeur de y égale 4, sans se soucier des valeurs x et z.

Cette équation est une polynôme de premier ordre car chaque terme ne contient que des puissances de un de x, y ou z. Une équation de second ordre a des termes comme x^2, y^2, z^2, xy, xz et yz. Un autre nom pour ces équations est quadrique. Les polynômes de troisième ordre sont les cubiques. Ceux de quatrième ordre sont les quartiques. De telles formes sont décrites plus bas.

3.3.3.2 Poly, cubique et quartique

Les surfaces polynomiales de haut ordre peuvent être définies par l'utilisation de la forme poly. La syntaxe est :

POLY:
	poly {
		Order, <A1, A2, A3,... An>
		[POLY_MODIFIERS...]
	}
POLY_MODIFIERS:
	sturm | OBJECT_MODIFIER

Les valeurs par défaut sont :

sturm : off

où Order est un entier entre 2 et 15 inclus, qui spécifie l'ordre de l'équation. A1, A2, ... An sont les valeurs numériques pour les coefficients de l'équation. Il y a n termes de ce type quand n = ((Order+1)*(Order+2)*(Order+3))/6

L'objet cubic est une méthode alternative pour les polynômes de troisième ordre. Sa syntaxe est :

CUBIC:
	cubic {
		<A1, A2, A3,... A20>
		[POLY_MODIFIERS...]
	}

Les équations de quatrième ordre peuvent aussi être spécifiées par l'objet quartic. Sa syntaxe est :

QUARTIC:
	quartic {
		<A1, A2, A3,... A35>
		[POLY_MODIFIERS...]
	}

La table suivante montre les termes polynomiaux correspondant aux facteurs x, y et z pour les ordres 2 à 7. Souvenez vous que cubic est un polynôme de 3ème degré, et quartic de 4ème degré.

2nd 3rd 4th 5th 6th 7th 5th 6th 7th 6th 7th

A1 x² x³ x⁴ x⁵ x⁶ x⁷ A41 y³ xy³ x²y³ A81 z³ xz³

A2 xy x²y x³y x⁴y x⁵y x⁶y A42 y²z³ xy²z³ x²y²z³ A82 z² xz²

A3 xz x²z x³z x⁴z x⁵z x⁶z A43 y²z² xy²z² x²y²z² A83 z xz

A4 x x² x³ x⁴ x⁵ x⁶ A44 y²z xy²z x²y²z A84 1 x

A5 y² xy² x²y² x³y² x⁴y² x⁵y² A45 y² xy² x²y² A85 y⁷

A6 yz xyz x²yz x³yz x⁴yz x⁵yz A46 yz⁴ xyz⁴ x²yz⁴ A86 y⁶z

A7 y xy x²y x³y x⁴y x⁵y A47 yz³ xyz³ x²yz³ A87 y⁶

A8 z² xz² x²z² x³z² x⁴z² x⁵z² A48 yz² xyz² x²yz² A88 y⁵z²

A9 z xz x²z x³z x⁴z x⁵z A49 yz xyz x²yz A89 y⁵z

A10 1 x x² x³ x⁴ x⁵ A50 y xy x²y A90 y⁵

A11 y³ xy³ x²y³ x³y³ x⁴y³ A51 z⁵ xz⁵ x²z⁵ A91 y⁴z³

A12 y²z xy²z x²y²z x³y²z x⁴y²z A52 z⁴ xz⁴ x²z⁴ A92 y⁴z²

A13 y² xy² x²y² x³y² x⁴y² A53 z³ xz³ x²z³ A93 y⁴z

A14 yz² xyz² x²yz² x³yz² x⁴yz² A54 z² xz² x²z² A94 y⁴

A15 yz xyz x²yz x³yz x⁴yz A55 z xz x²z A95 y³z⁴

A16 y xy x²y x³y x⁴y A56 1 x x² A96 y³z³

A17 z³ xz³ x²z³ x³z³ x⁴z³ A57 y⁶ xy⁶ A97 y³z²

A18 z² xz² x²z² x³z² x⁴z² A58 y⁵z xy⁵z A98 y³z

A19 z xz x²z x³z x⁴z A59 y⁵ xy⁵ A99 y³

A20 1 x x² x³ x⁴ A60 y⁴z² xy⁴z² A100 y²z⁵

A21 y⁴ xy⁴ x²y⁴ x³y⁴ A61 y⁴z xy⁴z A101 y²z⁴

A22 y³z xy³z x²y³z x³y³z A62 y⁴ xy⁴ A102 y²z³

A23 y³ xy³ x²y³ x³y³ A63 y³z³ xy³z³ A103 y²z²

A24 y²z² xy²z² x²y²z² x³y²z² A64 y³z² xy³z² A104 y²z

A25 y²z xy²z x²y²z x³y²z A65 y³z xy³z A105 y²

A26 y² xy² x²y² x³y² A66 y³ xy³ A106 yz⁶

A27 yz³ xyz³ x²yz³ x³yz³ A67 y²z⁴ xy²z⁴ A107 yz⁵

A28 yz² xyz² x²yz² x³yz² A68 y²z³ xy²z³ A108 yz⁴

A29 yz xyz x²yz x³yz A69 y²z² xy²z² A109 yz³

A30 y xy x²y x³y A70 y²z xy²z A110 yz²

A31 z⁴ xz⁴ x²z⁴ x³z⁴ A71 y² xy² A111 yz

A32 z³ xz³ x²z³ x³z³ A72 yz⁵ xyz⁵ A112 y

A33 z² xz² x²z² x³z² A73 yz⁴ xyz⁴ A113 z⁷

A34 z xz x²z x³z A74 yz³ xyz³ A114 z⁶

A35 1 x x² x³ A75 yz² xyz² A115 z⁵

A36 y⁵ xy⁵ x²y⁵ A76 yz xyz A116 z⁴

A37 y⁴z xy⁴z x²y⁴z A77 y xy A117 z³

A38 y⁴ xy⁴ x²y⁴ A78 z⁶ xz⁶ A118 z²

A39 y³z² xy³z² x²y³z² A79 z⁵ xz⁵ A119 z

A40 y³z xy³z x²y³z A80 z⁴ xz⁴ A120 1

Les formes polynomiales peuvent être utilisées pour décrire une large gamme de formes incluant les tores, le lemniscate, etc. Par exemple, la déclaration d'une surface quartique requiert que chacun des coefficients (A1 ... A35) soit placé dans l'ordre, dans un long vecteur unique de 35 termes. Comme exemple, définissons un tore selon cette méthode ardue. Un tore peut être représenté par l'équation : x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2 x² y² + 2 x² z² + 2 y² z² - 2 (r_02 + r_12) x² + 2 (r_02 - r_12) y² - 2 (r_02 + r_12) z² + (r_02 - r_12)² = 0

Où r_0 est le rayon majeur du tore, la distance entre le centre du trou et le centre de l'anneau, et r_1 est le rayon mineur du tore, la distance entre le milieu de l'anneau et la surface extérieure. La déclaration d'objet suivante est pour un tore avec un rayon majeur de 6.3 et un rayon mineur de 3.5 (rendant la largeur maximale juste inférieure à 20).

// Torus having major radius sqrt(40), minor radius sqrt(12)
quartic {
	<1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0,
	-104, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
	0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 56, 0,
	0, 0, 0, 1, 0,-104, 0, 784>
	sturm
}

Poly, cubiques et quartiques sont comme les quadriques, en cela que vous n'avez pas besoin de savoir lequel est utilisé. Le fichier shapesq.inc a plein de quartiques prédéfinis pour vous permettre de jouer.

Les poly utilisent des calculs très complexes, et ne se rendent pas toujours parfaitement. Si la surface n'est pas lisse, a des trous, ou des pixels supplémentaires, essayez l'utilisation du mot clé optionnel sturm dans la définition. Cela entraînera l'utilisation d'une méthode de calcul plus lente, mais plus précise. Habituellement, mais pas toujours, cela résoudra le problème. Si cela ne fonctionne pas, essayez de tourner ou de déplacer la forme, d'une petite valeur.

Il y a tellement de formes quartiques différentes, que nous ne pouvons pas toutes les décrire. Si vous êtes intéressé, et friand de mathématiques, nous vous suggérons de trouver un livre de référence.

3.3.3.3 Le quadrique

L'objet quadric peut produire des formes comme les paraboloïdes (formes de cuvette) et hyperboloïdes (formes de selles et de verres de montre). Il peut aussi produire les ellipsoïdes, les sphères, les cônes, les cylindres, mais vous devez plutôt utiliser les objets intégrés de POV-Ray, car ils sont plus rapides.

Note : vous ne devez pas confondre les "quaDRiques" et les "quaRTiques". Un quadrique est un polynôme de second degré, tandis que le quartique est de quatrième ordre.

Les quadriques se rendent beaucoup plus vite, et sont moins sujets aux erreurs, mais produisent des objets moins complexes. La syntaxe est :

QUADRIC:
	quadric {
		<A, B, C>, <D, E, F>, <G, H, I>, J
		[OBJECT_MODIFIERS...]
	}

Bien que la syntaxe analysera 3 expressions vectorielles, suivies d'un numérique, nous avons écrit la syntaxe traditionnelle où A à J sont des expressions numériques. Ces 10 numériques définissent une surface de points x, y, z qui satisfont l'équation A x² + B y² + C z² + D xy + E xz + F yz + G x + H y + I z + J = 0

Des valeurs différentes de A, B, C, ... J donneront des formes différentes. Pour n'importe quel point tridimensionnel, l'utilisation de ses coordonnées x, y et z dans cette équation, donnera le résultat 0 si le point est sur la surface de l'objet, négatif si le point est dans l'objet, et positif s'il est hors de l'objet. Voici quelques exemples :

X² + Y² + Z² - 1 = 0	Sphère
X² + Y² - 1 = 0	Cylindre infini le long de l'axe z
X² + Y² - Z² = 0	Cône infini le long de l'axe z

La façon la plus simple d'utiliser ces formes est d'inclure le fichier standard shapes.inc dans votre programme. Il contient de nombreux quadriques prédéfinis, et vous pouvez transformer ces formes (en utilisant le déplacement, la rotation et le changement de taille) selon ce que vous voulez. Pour une liste complète, voir le fichier shapes.inc.